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代数里的绝对值

时间:2020-12-01 14:51:49

  绝对值的意思是,一个数离零有多远:

20201201143824.png

"6" 和零的距离是 6,而"−6"和零的距离也是 6。所以 6 的绝对值是 6,而 −6 的绝对值是也是 6,

  绝对值符号,要表达一个数的绝对值,使用 "|" 符号 ("直线"),像这样:|−5| = 5|7| = 7

20201201143926.png

  "|" 符号通常是在键盘的回车键(输入键)上面。

 “官方宣言”所以,要找绝对值,正数和零保持不变,而负数就转为正数,写下来是这样:

20201201144019.png

  x的绝对值等于:x,当 x 大于 零 0,当 x 等于 0 −x,当 x 小于 零(把数 "倒转",变回正数)

例子:|−17|是什么?数是小于零的,所以要计算"−x":− (−17) = 17(因为负负得正)

  有用的特征
  以下是绝对值的一些有用特征:|a| ≥ 0 ,永远都是!这合理……|a|永远不能小于零。

  |a| = √(a2)a 的二次幂是正数或零(若 a是实数)。计算二次幂的平方根时把数"还原"了,但仍然保持为正数或零。

  |a × b| = |a| × |b|就是说,以下是相同的:(a 乘以 b)的绝对值,和(a 的绝对值)乘以 (b 的绝对值),这对解题会很有用,

  |u| = a 和 u = ±a 的意思是一样的,这往往是解大部分绝对值数题的关键。

  例子:解 |x+2|=5,用这个特征:"|u| = a 的意思是 u = ±a":这:|x+2|=5和以下一样:x+2 = ±5,这方程有两个答案:

x+2 = −5 x+2 = +5
x = −7 x = 3

  用图来显示,为以上例子画个图:|x+2| = 5

  "=0" 的公式比较容易画图,所以每边减5:|x+2| − 5 = 0,这是|x+2|−5的图,但为了好玩,我们用移动的方法来画这个图

20201201144431.png

  绝对值不等式
  把绝对值和不等式掺在一起就需要小心处理了!有4种不等式:

<   >
小于 小于
或等于
  大于 大于
或等于

  小于、小于或等于"<" 和 "≤" 会有一个以零为中心的区间:

例子:解 |x| < 3,这就是说从x到零的距离是小于3:

20201201144611.png

所有在 -3 和 3 之间的数(但不包括 3 和 -3 )

  可以重写为:−3 < x < 3,作为一个区间,这可以写为: (−3, 3)

  小于或等于"也是一样:

例子:解 |x| ≤ 3

所有在 -3 和 3 之间的数,包括 -3 和 3

可以重写为:−3 ≤ x ≤ 3

作为一个区间,这可以写为: [−3, 3]

  看看一个较为复杂的例子:

例子:解 |3x-6| ≤ 12

重写为:−12 ≤ 3x−6 ≤ 12

加 6:−6 ≤ 3x ≤ 18

最后,乘以(1/3)。乘以正数不会改变不等式:−2 ≤ x ≤ 6

行了!作为一个 区间,这可以写为: [−2, 6]

  大于、大于或等于,这个有点不同……会有两个分开的区间

例子: |x| > 3

  像这样:

|x| > 3

大至 -3 大于 3

  可以重写为

x < −3   or   x > 3

作为一个区间,这可以写为: (−∞, −3) U (3, +∞)

  小心!不要写成

−3 > x > 3     不对!

"x" 不能同时小于 -3  大于 3

  应该是这样:

x < −3      x > 3     对

"x" 小于 −3  大于 3

  大于或等于"也是一样:

例子:解 |x| ≥ 3,可以重写为  x ≤ −3      x ≥ 3,作为一个区间,这可以写为: (−∞, −3] U [3, +∞)

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