自然对数和自然指数函数

  底是e（"欧拉数" = 2.718281828459……）的对数叫：

  自然对数 log_e(x) 

  通常写为ln(x)

  自然指数函数e^x

  它们仍然可以互相还原：ln(e^x) = x  e^{(ln x)} = x，

  这是它们的图：

自然对数		自然指数函数
f(x) = ln(x)的图		f(x) = ex的图
穿过 (1,0) 和 (e,1)		穿过 (0,1) 和 (1,e)

  它们是同一条曲线，不过x轴 和 y轴 对调了。这也显示出它们是反函数。

  在计算器上，自然对数是 "ln" 键。你应该尽量使用自然对数和自然指数函数。

  常用对数，底是10的对数叫：常用对数 log₁₀(x)，有时写为 log(x)

  工程师时常用到它，但数学里很少用。

  在计算器上，常用对数是 "log" 键。它的有用之处是告诉你数在十进制里 "有多大"（你要乘几个10）。

例子：计算 log₁₀ 100  10 × 10 = 100，所以2个 10乘在一起的积是 100：log₁₀ 100 = 2  同样， log₁₀ 1,000 = 3，log₁₀ 10,000 = 4，依此类推。

例子：计算 log₁₀ 369,这个最好用计算器的 "log" 键：log₁₀ 369 = 2.567……

  改变底,如果我们想改变对数的底呢？容易！用这个公式：

"x 增大，a 减小"

  你也可以把 log_b a 作为 "转换因数"（公式如上）：log_a x = log_b x / log_b a

 

  用这个公式，我们可以转换为任何的底,另一个有用的特性是：log_a x = 1 / log_x a

  看到 "x" 和 "a" 换位吗？

例子：计算 1 / log₈ 2  1 / log₈ 2 = log₂ 8  2 × 2 × 2 = 8，所以3个 2乘在一起的积是 8：1 / log₈ 2 = log₂ 8 = 3

  我们常用自然对数，所以最好记着：log_a x = ln x / ln a,

例子：计算 log₄ 22,我的计算器没有 "log₄" 键,但它有 "ln" 键。我们来用它：

  log₄ 22 = ln 22 / ln 4 = 3.09.../1.39... = 2.23 （保留三位小数）

  这答案的意思是什么？它的意思是 4的2.23次幂等于22。我们来检测：检测：4^2.23 = 22.01（差不多了！）

  再来一个例子：例子：计算 log₅ 125,log₅ 125 = ln 125 / ln 5 = 4.83.../1.61... = 3 （绝对精确）

  我知道 5 × 5 × 5 = 125（3个 5 的积是 125），所以答案应该是 3。对了！