指数与对数知识和指数与对数的转换公式

  什么是指数？

一个数的指数代表把多少个 这个数 乘在一起。 例子： 23 = 2 × 2 × 2 = 8 （3个 2 乘在一起得到 8）

  什么是对数？
  对数与指数相反，它是这个问题的答案："什么指数会得到这个结果？"

  这问题的答案是：

  用以上的例子：
  指数用 2 和 3 来得到 8 （2乘3次为8）
  对数用 2 和 8 来得到 3 （2 成为 8，当把3个2乘在一起时）

  对数的意思是： 用几个 数与自己乘在一起会得到另一个数，

  所以对数的答案是指数：

（去这里看看指数、根和对数的关系。）

  一起用，指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）：

指数与对数互为"反函数"

  先做一个，然后做另一个，就还原了：

 

  但光看名字不能猜到它们是相反的……

  你可以这样想：a^x  "向上"，log_a(x)  "向下"：

• 向上走，然后向下走，你回到原处：向下(向上p(x)) = x，
• 向下走，然后向上走，你回到原处：向上(向下(x)) = x

  无论如何，重点是：指数函数可以"还原"对数函数的效果，（反过来也一样）

  看这个例子：
  举例： log3(x) = 5，x 是什么？我们可以用以3为底的指数来"还原"对数： 

开始

  我们想"还原"对数以得到 "x ="

每边都用指数函数：

 

 

我们知道，所以：

x = 35

答案：

x = 243

  再来一个：例子：y=log₄(1/4)，求 y

开始
每边都用指数函数：
简化：		4y = 1/4
小窍门：1/4 = 4-1
所以：		4y = 4-1
故此：		y = -1

  对数的特性，对数的其中一个强大功能是把乘变成加。log_a( m × n ) = log_am + log_an "乘的对数是对数的和"

  为什么是这样？看附注。

  用这特性和指数定律，我们得到以下有用的特性：

loga(m × n) = logam + logan	乘的对数是对数的和
loga(m/n) = logam - logan	除乘的对数是对数的差
loga(1/n) = -logan	这是以上"除"特性的结果，因为 loga(1) = 0
loga(mr) = r ( logam )	m的r次幂 的对数 是 r 和 m的对数 的积

记着：底 "a" 一定要相同！

历史： 以前没有计算器时，对数非常有用……例如，要乘两个很大的数，你可以用对数来把乘变为加（容易得多！）

以前甚至有专门为此而设的对数表书。

 

 

  我们来玩玩：

  我们也可以"反过来"用对数的特性来组合对数：

  例子：把log_a(5) + log_a(x) − log_a(2) 变成一个对数：