等边三角形-性质,公式,定理和例子

边长相等的三角形称为等边三角形。等边一词可分为两部分：“ equi”（相等）和“ lateral”（侧边）。由于三角形的三个角度等于60度，因此也称为等角三角形。因此，这三个角度彼此相等。在几何中，它是一种具有三个相等边的规则多边形。因此，我们也可以将其称为正三角形。

等边三角形定义

正如我们在引言中已经讨论的那样，等边三角形是一个边长均相等的三角形。同样，等边三角形的三个角度是相等的，等于60度。

假设，根据定义，ABC是等边三角形；

AB = BC = AC，其中AB，BC和AC是等边三角形的边。

和∠A=∠B=∠C= 60°

基于边，还有其他两种类型的三角形：

• 不等边三角形
• 等腰三角形

基本性质

• 三条边都是相等的。
• 三个角都相等，并且等于60度。
• 它是一个有三条边的正多边形。
• 从等边三角形的顶点到另一边的垂直线将它平分为两半。另外，从垂直线的顶点角度被分成两个相等的角度，即每个30度。
• 正交中心和质心在同一点上。
• 在等边三角形中，所有边的中线，角平分线和高度都相同。
• 等边三角形的面积是√3a2/ 4
• 等边三角形的周长为3a。

等边三角形定理

如果ABC是等边三角形，而P是三角形ABC外接圆的弧BC上的点，则；

PA = PB + PC

证明：对于循环四边形ABPC，我们有；

PA⋅BC=PB⋅AC+PC⋅AB

众所周知，对于等边三角形ABC，

AB = BC = AC

因此，

PA.AB = PB.AB+PC.AB

以AB为共同点；

PA.AB=AB(PB+PC)

PA = PB + PC

因此，证明了。

等边三角形公式

此处给出了面积和周长的计算公式。

等边三角形面积

等边三角形的面积是其在二维平面中所占据的区域。等边三角形的面积公式为：

A = √3a2/4

让我们在这里推导出公式：

如果我们看到上面的图，则三角形的面积由下式给出：

面积=½x底x高

这里底=a，高=h

因此，

面积=½ x a x h ………（1）

现在，从上图中，高度h将底部平分为两部分，例如a/2和a/2。它还形成两个相等的直角三角形。

因此，对于一个直角三角形，使用毕达哥拉斯定理，我们可以这样写：

a2 = h2 + (a/2)2

或者

h2 = (a)2 – (a/2)2

= 3a2/4

h = √3a/2

通过将该值代入公式1，我们得到：

面积=½ x a x √3a/2

A = √3a2/4

因此，等边三角形的面积等于√3a2/4。

等边三角形周长

在几何中，任何多边形的周长等于其边的长度。对于等边三角形，周长将是所有三条边的总和。

假设ABC是等边三角形，则∆ABC的周长为；

周长= AB + BC + AC

P = a + a + a

P = 3a

其中a是三角形边的长度。

等边三角形的质心

等边三角形的质心位于三角形的中心。由于其所有边的长度相等，因此很容易找到它的质心。

要找到质心，我们需要绘制从三角形的每个顶点到相反边的垂直线。这些垂直线的长度均相等，并且在单个点处彼此相交，这称为质心。参见下图：

注意：正三角形的质心与所有边和顶点等距。

例子

问题1：求出等边三角形ABC的面积，其中AB = AC = BC = 4cm。

解：通过公式，我们知道；

等边三角形面积=√3a2/4

给出 a = 4cm

因此，通过计算我们得到的价值；

等边三角形面积=√3(4)2/4

A =4√3

问题2：求出边长等于10cm的等边三角形的高度。

解：根据我们知道的公式，

等边三角形的高度=√3a/2

因为a = 10cm

因此，

h = √3 x (10/2)

h = 5√3