数列知识点归纳总结

  什么是数列？

  序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

  无穷或有穷，无穷延续的数列叫 无穷数列，否则叫 有穷数列，

例子：

  {1，2，3，4……} 是一个很简单的数列（也是个无穷数列)

  {20，25，30，35……} 也是个无穷数列

  {1，3，5，7} 是头四个奇数的数列（是个有穷数列)

  {4，3，2，1} 是 4 倒数到 1

  {1，2，4，8，16，32……} 是无穷数列，每一项是上一项的双倍

  {a，b，c，d，e} 是头五个英语字母的序列，按先后次序排列

  {f，r，e，d} 是 "fred" 这个英语名字里的字母的序列

  {0，1，0，1，0，1……} 是 0 和 1 的 交错 数列（交错的次序）

  顺序数列的项是"顺序"的，但这次序可以是顺任何次序：向前，向后，交错……任何次序都可以！

  像集合
  数列和集合相似，除了：项是顺序的 （在集合里次序不重要）同一个值可以出现多于一次（再集合里只能出现一次）
  例子：{0，1，0，1，0，1……} 是交错排列的 0 和 1 的 数列。
  项的集合 是 {0、1}

  记法

数列与集合用同样的记法： 列出每个项，用逗号隔开， 全部放在大括号里。

{3，5，7……}

差不多了，但……每项都 小 了 1。我们把它改成：

检测规则：2n+1

行了！

  所以我们不用冗长的说："从 3 开始，每项加 2"，我们这样写：

2n+1

  很多规则
  可是，我们可以找到多个规则来配合任何数列。

例子：数列 {3，5，7，9……}

  上面我们找到 {3，5，7，9……} 的一个规则：2n+1

用这个规则，数列是 {3，5，7，9，11，13……}

  有其他的规则吗？

  这个："没有 1 在里面的奇数"：

数列变成： {3，5，7，9，23，25……}

  完全不同的数列！

  我们还可以找到很多不同的规则来配合 {3, 5, 7, 9, ...}。对不对？

  所以最好说："数列的一个规则是"，而不要说："数列的规则是" （除非我们知道逆则是唯一的正确规则）。

  记法，为简单起见，我们通常用这个格式：

项：xn 项的序数：n

  例子：我们这样来写 "第 5 项"：x₅  所以{3，5，7，9……}的一个规则可以写成：x_n = 2n+1

  计算第 10 项便是这样写：x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21   这样试着计算 x₅₀ （第 50 项）。

  又一个例子：

例子：求这数列的头 4 项：{a_n} = { (-1/n)ⁿ }

  算法：

• a₁ = (-1/1)¹ = -1
• a₂ = (-1/2)² = 1/4
• a₃ = (-1/3)³ = -1/27
• a₄ = (-1/4)⁴ = 1/256

  答案：{a_n} = { -1，1/4，-1/27，1/256……}

  特别数列
  我们现在来看看一些特别的数列和它们的规则。

  等差数列
  在等差数列里， 每一项和下一项的差是个常数。

  换句话说，每次加个等值，直到永远，……

 例子：

  等差数列的一般写法是：{a，a+d，a+2d，a+3d……}

  其中：

• a 是首项，
• d 是项与项之间的差（叫"公差"）

  规则是：x_n = a + d(n-1)   （用 "n-1"，因为在第一项里没有 d）。

  等比数列
  等比数列 的项是上一项乘以一个常数。

例子：

  项与项之间的比是 2，规则是 x_n = 2ⁿ
  等比数列的一般写法是：{a，ar，ar²，ar³…… }

  其中：a 是首项，r 是项与项之间的比（叫"公比"）

  注意：r 不能是 0。若 r=0，数列是 {a，0，0……}。这不是等比数列

  规则是：x_n = ar^{(n-1)   （用 "n-1"，因为第一项是 ar0）}