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斯特林公式证明

时间:2016-11-28 16:03:07

斯特林公式(Stirling's)

 

 

 

斯特林公式在概率应用数学中的一个重要公式,以及在概率是斯特灵的

公式称为
 

 

斯特林公式


 

 

这里用于指示两边比去1 当 n 移到 . 换句话说,我们用
 

 


 

 


 

斯特林公式的证明

首先以log的n!到得
 

 


 

 

 因为log 函数增加的间隔我们得到
 

 


 

 

对于添加上述不等式,用我们得到
 

 

虽然第一个积分是不正确的, 它很容易证明,事实上它是收敛的. 利用导数的 (作为), 我们得到的
 

 

下一步,设
 

 

我们得到
 

 


 

 

给出了简单的代数运算
 

 

使用泰勒展开式
 

 


 

 

对于 -1 < t < 1, 我们得到
 

 

这意味着
 

 

我们认识到一个几何级数。因此,我们有
 

 

从这我们得到

1, 这个序列 是减少

2,这个序列 是增加

 这将意味着收敛到一个数C与
 

 

并且 C > d1 - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12. 以指数为dn, 我们得到的
 

 

最后一步的证明,如果显示. 这将通过沃利斯公式(Wallis formula)事实上,撤回限制
 

 

重写这个公式,我们得到
 

 


 

 

演示与这个数字,我们得到
 

 


 

 

使用上述公式

 

我们得到
 

 

给出了简单的代数
 

 

 

由于我们正在处理常数, 我们事实上 . 这就完成了斯特灵公式的证明。

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