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双曲线

时间:2020-12-11 13:37:21

你是否知道太空船的轨道有时可以是条双曲线?太空船可以利用行星的引力来改变轨道,用高速把自己推离行星,回到外太空。这个技巧叫 "引力弹弓"。

20201211132913.png

在这种情况下,太空船的轨道是一条双曲线。(你可以去引力自由玩看看这是什么样的)

定义

双曲线是有以下属性的曲线:线上任何一点到:

一个定点(焦点)和
一条固定的直线(准线) 的距离的比侍定的。

20201211133011.png

这个比叫偏心率,而双曲线的偏心率永远大于 1,双曲线是开放的曲线(无终端),还有!双曲线是两条分开并互为镜像的曲线:

20201211133050.png

在图上你可以看到:
准线 和 焦点每边一个,对称轴,穿过每个焦点,垂直于准线,两个顶点每条线最弯曲的地方,

"渐近线"(如图)不是双曲线的一部分。双曲线在向四个方向延伸到无穷远时便会趋近渐近线,严格来说,还有双曲线里两条曲线的对称轴

圆锥曲线

切开圆锥也可以得到双曲线,切面要比抛物线的切面倾斜,并且就算切面不与圆锥的轴平行,双曲线也会有两条对称的曲线,双曲线是其中一种圆锥曲线(圆锥截面)。

20201211133245.png

方程

把双曲线放在x-y 图上(在 x轴与 y轴的正中),双曲线的方程是:

20201211133336.png

且:一个顶点 在(a,0),另一个在(−a,0)渐近线是这两条直线:

20201211133411.png

y = (b/a)x   y = −(b/a)x

方程跟 椭圆的方程相似: x2/a2 + y2/b2 = 1(除了中间是 "−" 而不是 "+")

偏心率

上面讲偏心率(通常以字母 e 表示),它表达双曲线有多 "不弯曲"(与圆有多不同)。

在这个图中:

20201211133535.png

P 是线上一点,
F 是焦点,
N 是准线上的一点,而且 PN 垂直于准线。

比例 PF/PN 是双曲线的偏心率(双曲线的偏心率永远大于 1)。

还有这个公式:

20201211133609.png

"a" 和 "b" 如上图所示。

正焦弦

20201211133649.png

正焦弦是穿过焦点并与准线平行的直线,正焦弦的长度是 2b2/a.

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