曲线的绘制
微分学
定义
ƒ'(x) =   |
. |
ƒ'(c) =   |
. |
如果 ƒ 是微在 x = c，那么 ƒ 是连续 x = c。
微分法则
一般和对数微分法则
1.  [cu] = cu' |
2.  [u v] = u' v' |
(求和定则) | |
3.  [uv] = uv' + vu' |
积的求导法 | 4.  [ ] =  |
商的求导法则 |
5.  [c] = 0 |
6.  [un] = nun-1u' |
(幂规则) | |
7.  [x] = 1 |
8.  [ln u] =  |
||
9.  [eu] = euu' |
10. [ƒ(g(x))] = ƒ' (g(x)) g' (x) |
链式求导法 |
三角函数的导数
反三角函数的导数
隐函数的微分
隐函数的微分是有用的情况下，在其中你不能很容易地解决Y作为x的函数
| 练习题1 | Find  for y3 + xy - 2y - x2 = -2 |
 [y3 + xy - 2y - x2] =  [-2] |
|
3y2 + (x + y) - 2 - 2x = 0 |
|
 (3y2 + x - 2) = 2x - y |
|
 =  |
高阶导数
这些 ƒ(x) 都是连续导数。使用基本符号，第二阶导数ƒ(x),ƒ''(x),是导数的ƒ'(x).高阶导数的数值表示法：
ƒ(n)(x) = y(n)
二阶导数也由
表示
| 练习2 | 查找第三阶导数 y = x5. |
| y' = 5x4 | |
| y'' = 20x3 | |
| y''' = 60x2 |
反函数的导数
如果 y = ƒ(x) 和 x = ƒ-1(y) 是可微分的反函数，那么及其导数是倒数:
对数微分
它通常是有利使用对数来区分某些功能。
1.采取双侧
2.区分
3.解决 y'
4.代替 y
5.简化
| 练习3 | 找到  对于 y =  |
ln y =  [ln(x2 + 1) - ln(x2 - 1)] |
|
 =  |
|
y' =  |
|
y' =  |
中值定理
如果 ƒ 是连续 [a，b] 和 可导 (a，b)，则存在大量 c (a，b) 这样的
ƒ'(c) = 
L'Hôpital's 法则
如果ƒ(x)/g(x) 是不确定的形式 0/0 或
，如果lim ƒ'(x)/g'(x)存在，然后
lim 
= lim 
不确定的形式0
可以减少到0/0 or 
以便L'Hôpital's法则可以应用。
注: L'Hôpital's法则可应用于四种不同的不确定形式 
: 见下:
, 
, 
, 和 
四种
| 练习4 |  是什么 ? |
| (A) 2 | |
| (B) 1 | |
| (C) 0 | |
(D)  |
|
| (E) 不存在限制 | |
| 答案是B. |  = 1 |
切线和法线
一个函数的导数在一个点上的导数是切线的斜率。正常的线是垂直的线，切入点是垂直的切线。
| 练习5 | 正常曲线斜率的曲线y = 2x2 + 1 在 (1, 3) |
| (A) -1/12 | |
| (B) -1/4 | |
| (C) 1/12 | |
| (D) 1/4 | |
| (E) 4 | |
| 答案是 B. | y' = 4x |
| y = 4(1) = 4 | |
| 边坡正常 =-1/4 |
极值定理
如果一个函数 ƒ(x) 是在一个封闭的间隔上是连续的，然后 ƒ(x) 在间隔中有最大值和最小值。
曲线的绘制
| 现状 | 指示 |
| ƒ'(c) > 0 | ƒ 增加在 c |
| ƒ'(c) < 0 | ƒ 降低在c |
| ƒ'(c) = 0 | 在横切线 c |
| ƒ'(c) = 0, ƒ'(c-) < 0, ƒ'(c+) > 0 | 相对最小在 c |
| ƒ'(c) = 0, ƒ'(c-) > 0, ƒ'(c+) < 0 | 相对最大在c |
| ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) > 0 | 相对最小在 c |
| ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) < 0 | 相对最大在 c |
| ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) = 0 | f需要更进一步的调查 |
| ƒ''(c) > 0 | 向上凹 |
| ƒ''(c) < 0 | 向下凹 |
| ƒ''(c) = 0 | 需要更进一步的调查 |
| ƒ''(c) = 0, ƒ''(c-) < 0, ƒ''(c+) > 0 | 点的拐点 |
| ƒ''(c) = 0, ƒ''(c-) > 0, ƒ''(c+) < 0 | 点的拐点 |
| ƒ(c) 存在, ƒ'(c) 不存在 | 可能是一个垂直的切线；可能是一个绝对的最大或最小。 |
牛顿函数逼近零点的方法
xn + 1 = xn - 
使用牛顿的方法，让x1是一根的猜想。重复功能，直到所需的精度得到的结果
优化问题
微积分可以用来解决实际问题，需要最大或最小值。
| 练习6 | 一个没有顶部方形框有 500立方体积尺。查找需要最少的框尺寸 |
| V = 体积，S = 表面积，x = 低部长度和 h = 框的高度 | |
| V = x2h = 500 | |
| S = x2 + 4xh = x2 + 4x(500/x2) = x2 + (2000/x) | |
| S' = 2x - (2000/x2) = 0 | |
| 2x3 = 2000 | |
| x = 10, h = 5 | |
| 尺寸︰ 10 x 10 x 5 尺 |
变化率的问题
距离、 速度和加速度
y = s(t)质点沿直线的位置在时间 t
v = s'(t) 瞬时速度 (变化率) 在时间 t
a = v'(t) = s''(t) 瞬时加速度在时间t
相关变化率
微积分可以被用来找到两个或多个变量的变化的时间t的函数的变化，相对于T的变化率。
微积分可以用来查找两个变化率或更多的变量是函数时间t 通过微分相对于t
| 练习7 | 一个高5英尺男孩走向一个3英尺/秒速度，距地面12英尺的路灯 | |
| a) 提示他的阴影变化率是什么？ | ||
| b) 他的影子的长度的变化率是多少？ | ||
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 |
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 |
|
 |
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 |
|
b) =  ft/sec |
a) =  ft/sec |
|
答案是距离的独立的光距离之间。
| 练习8 | 一个直径20英尺，高30英尺的锥形罐（顶点向下）以每小时5立方英尺的速度渗漏水。水是什么速度?水位下降时，水是15英尺深吗？ | |
V =   r2h |
  h2 |
|
 |
5 =   h2 |
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 |
 |
|
V =   h3 |
|
|
.
ft/hr
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