牛顿冷却定律

牛顿冷却定律 关于物体的冷却, 牛顿有下面的观察

「一冷却体之冷却速率与『该物温度及室温之温差』成正比」

令此物之温度为 T(t), 在 t=t₀ 时之温度为 T₀, 又室温为 H, 则牛顿冷却定律公式为

其中 为与该物体有关之常数.注意. 之负号表示当物温高于室温时, 物温会下降─冷却. 但当物 温低于室温时, 物温会升高（姑且也称之为「冷却」）.

用不定积分

代入 T(t₀)=T₀, 可得

例. 人体在死亡后, 温度调节功能随即消失, 因此藉由正常体温 (37℃) 与室温的比较, 利用牛顿冷却定律, 可以帮忙判定死亡的时 间.

某冬晨, 警局接到报案, 在街头发现一流浪汉的尸体, 6:30AM时测量其体 温为 18℃, 到7:30AM时, 其体温已降到 16℃, 若假设室外 温度约维持在 10℃, 且人体正常体温为 37℃, 令 t₀=6.5 (即 6:30AM), t^* 为死亡时间. 则首先

推得 , 再代入

解得 , 相当于凌晨 2:16AM.

习题：

将鱼从冰箱冷冻库(-5℃) 拿出来在室温 25℃下解冻, 过了一个钟头后, 其温度约为 10℃, 请问若希望在烹调时, 鱼温度至少为 15℃, 请问应 在烹调的几个钟头前拿出来解冻？ (Ans.约一个半小时.)

牛顿冷却定律由于假设室温 H 是常数,似乎不太合理, 现将 H 「恢复」为时间的函数, 则原式变成

欲求 T(t). 这显然是一阶线性微分方程, 一般解为

所以物体与室温的差别为

假设回到室温是常数 H, 则易知

一个自然的问题是, 物体温度是不是终究会趋近于室温? 下面 习题告诉我们答案是否定的.

习题：

现假设 , , T(0)=40

 

(1) 说明 T(t) 的解可以写成下面的式子

 

(2) 说明 T(t) 不会趋近于 H(t).