年金是在每隔相同的一个时期，收到的相同数量的款项。
例子：你在十年里内星期收到 ￥200。
你怎样得到这个收入？买！
像这样：
- 你给对方一大笔款项，
- 对方在一定时期内每期还给你一小笔款项。
例子：你买了一个年金
你付出的款项是 ￥20,000
在未来 5年你每月会收到￥400 的年金
这划算吗？
例子（续）：
5年内每个月收到 ￥400 = ￥400 × 12 × 5 = ￥24,000
乍看不错……你收回的比你付出的要多。
为什么你的收入（￥24,000）多于你买年金时付出的金额（￥20,0000）？
因为现有的钱比将来的钱更有价值。
拿了你 $20,000，对方可以用那些钱来投资赚利息，或者用其他方法去赚钱。
那么年金的价格应该是多少？
年金的价值
我们先看看年利率 10%的作用（想象年利率 10%的银行账户）：
例子：10% 年利率，本金 ￥1,000
现有 ￥1,000，一年后可得到 ￥1,000 x 10% = ￥100 利息。
现有 ￥1,000，一年后便是 $1,100。
所以明年的 ￥1,100 和现在的 ￥1,000 是 一样的（当年利率为 10% 时）。
所以当年利率为 10% 时：
- 从现在到明年：乘以 1.10
- 从明年到现在：除以 1.10
假设我们的年金是每年收付 ￥500，为期 4年。
你明年会第一次收到 ￥500……这 ￥500 在现在的价值是多少？
$500 ÷ 1.10 = ￥454.55 现值（到最近一分）
你第二次的收入在 2年后。我们怎样求它的现值？求上一年的值，然后求再上一年的值：
￥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ￥413.22 现值
第三和第四个收付也可以用同样的方法转换为现值：
￥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ￥375.66 现值
￥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ￥341.51 现值
最后我们把这 4个现值加起来：
年金价值 = ￥454.55 + ￥413.22 + ￥375.66 + ￥341.51
年金价值 = ￥1,584.94
我们成功做了我们第一个年金计算！
当年利率为 10%时，4个￥500 的年金收付额的现值是 ￥1,584.94
再举个例：
例子：年金每月收付 ￥400，为期 5年。
月利率是 1%。
12个月一年，5年就是 60个收付……以及很多计算！
有容易点儿的方法吗？有：
年金的现值： PV = P × 1 − (1+r)−nr
- P 是每次收付的年金额
- r 是以小数表达的每期利率，例如 10% 是 0.10
- n 是期数
我们先用上面 4年，￥500 的例子试试。
利率是 10%，所以 r = 0.10
有 4个年金收付，所以 n=4，每个收付是 ￥500，所以 P = ￥500
PV = ￥500 × 1 − (1.10)−40.10
PV = ￥500 × 1 − 0.68301……0.10
PV = ￥500 × 3.169865……
PV = ￥1584.93
和上面算出来的答案一样（稍微精确一点儿）
好，我们现在试试 ￥400，60个月的例子：
月利率是 1%，所以 r = 0.01
有 60个年金收付，所以 n=60，每次年金额是 ￥400，所以 P = ￥400
PV = ￥400 × 1 − (1.01)−600.01
PV = ￥400 × 1 − 0.55045……0.01
PV = ￥400 × 44.95504……
PV = ￥17,982.02
比逐个收付分开来算简单得多。
反过来
如果你已经知道年金的价值，但也想知道每次的收付额？
想象你有 ￥10,000，你想在未来 6年每个月有固定收入。如果你买一个年金，你每个月会收到多少（假设月利率是 0.5%）？
我们需要改变上面公式的主项
| 开始： |
|
PV = P × 1 − (1+r)−nr |
| 换边： |
|
P × 1 − (1+r)−nr = PV |
| 每边乘以 r： |
|
P × (1 − (1+r)−n) = PV × r |
| 每边除以 1 − (1+r)−n : |
|
P = PV × r1 − (1+r)−n |
得到：
P = PV × r1 − (1+r)−n
- P 是每期的收付额（每次年金额）
- PV 是年金的现值
- r 是以小数表达的利率，例如 10% 是 0.10
- n 是期数
你有 ￥10,000，你想在未来 6年里每个月得到固定年金，你每月收到的金额是多少（假设月利率是 0.5%)?
月利率是 0.5%，所以 r = 0.005
总共有 6x12=72 个收付，所以 n=72，PV = ￥10,000
P = PV × r1 − (1+r)−n
P = $10,000 × 0.0051 − (1.005)−72
P = ￥10,000 × 0.016572888……
P = ￥165.73
你喜欢哪个？现在有 ￥10,000 还是每月得到 ￥165.73，连续 6年？
脚注：
你不需要记住，但你可能想知道公式是怎样来的：
n个收付，每个是 P，利率为 r，我们可以这样加起来：
P × 11+r + P × 1(1+r)×(1+r) + P × 1(1+r)×(1+r)×(1+r) + …… （n 项）
我们可以用指数来写。11+r 是 (1+r)−1 and 1(1+r)×(1+r) 是 (1+r)−2 等等：
P × (1+r)−1 + P × (1+r)−2 + P × (1+r)−3 + …… （n 项）
把 "P" 放到前面：
P × [ (1+r)−1 + (1+r)−2 + (1+r)−3 + …… （n 项） ]
再简化下去就有点复杂！我们需要用等比数列及它的和来做……最后的结果是：
PV = P × 1 − (1+r)−nr
下一篇：
