垂直角定理

如果两个角度是垂直角度，则它们具有相等的尺寸。

垂直角度具有相等的度数。有两对垂直角度。

练习题

（1）给出：m？DGH = 131

查找：m？GHK

首先，我们必须依靠获得的信息来开始我们的证明。在本练习中，我们注意到？DGH的测量值为131°。

从提供的插图中，我们还可以看到DJ和EK线 彼此平行。因此，我们可以利用上面的一些角度定理来找到？GHK的度量。

我们意识到在？DGH和？EHI之间存在关系：它们是对应的角度。因此，我们可以利用相应的角度假设 来确定ΔDGHΔEHI。

与？EHI直接相对的是？GHK。由于它们是垂直角度，因此我们可以使用“垂直角度定理”来查看？EHI ?? GHK。

现在，通过传递性，我们得到了？DGH ?? GHK。

同余角具有相等的度数度量，因此ΔDGH 的度量等于ΔGHK的度量。

最后，我们用替代得出结论，ΔGHK的测量 值为131°。下面以两列证明形式组织了该论点。

（2）鉴于：m？1 = m？3

证明：m？PTR = m？STQ

我们从证明？1和？3的度量 相等的事实开始我们的证明。

在第二步中，我们使用反射性来表明？2 等于其自身。

尽管微不足道，但前一步是必需的，因为它通过显示将？2的量值 加到两个相等的角度上可以保留相等性，从而使我们可以使用“ 相等”的加性。

然后，由角度加成公设我们看到？PTR是的总和θ1和θ2 ，而？STQ是的总和λ3和λ2 。

最终，通过替换，可以清楚地看出，？PTR 和？STQ的度量是相等的。此练习的两栏证明如下所示。

（3）给出：m？DCJ = 71，m？GFJ = 46

证明：m？AJH = 117

我们获得了？DCJ和？GFJ的度量以开始练习。此外，请注意，插图中水平延伸的三条线彼此平行。该图还向我们显示，证明的最后步骤可能要求我们将构成？AJH的两个角度相加。

我们发现？DCJ和？AJI之间存在关系：它们是交替的内角。因此，我们可以使用替代内角定理来宣称它们彼此相等。

根据全等的定义，它们的角度具有相同的度量，因此相等。

现在， 由于给定了该量，我们用71代替？DCJ的量度。这告诉我们？AJI也是 71°。

由于？GFJ和？HJI也是交替的内角，因此我们通过交替的内角定理要求它们之间的全等。

全等角的定义再次证明了这些角具有相等的度量。由于我们知道？GFJ的量度，因此我们仅替代 证明46是？HJI的度数。

正如上面所预测的，我们可以使用角度加法假设来获得？AJI和？HJI的总和，因为它们组成了？AJH。最终，我们看到这两个角度的和为117°。此练习的两栏证明如下所示。

（4）给出：m？1 = 4x + 9，m？2 = 7（x + 4）

发现：m？3

在本练习中，我们没有为所示角度提供特定的度数度量。相反，我们必须使用一些代数 来帮助我们确定？3的度量。与往常一样，我们从问题中给出的信息开始。在这种情况下，我们给出了针对？1和？2的度量的方程式。此外，我们注意到图中存在两对平行线。

根据同侧内角定理，我们知道？1 和？2的和为180，因为它们是互补的。

用给我们的度量替换并简化了这些角度 之后，我们得到11x + 37 = 180。为了求解x，我们首先将等式的两边都减去37，然后将两边都除以11。

一旦确定x的值为13，我们便将其重新插入到测量？2的公式中，以最终使用相应的角度假设。堵13在X给我们的度量 119的？2。

最后，我们得出结论， 因为？2和？3 是一致的，所以？3也必须具有该度数度量。下面显示了显示此参数的两列证明。