对数的规则,示例和计算公式

  对数，必须增加底数才能得出给定数字的指数或幂。用数学表达式表示，如果b ^x = n，则x是n到底b的对数，在这种情况下，x等于log _b n。例如2 ³ = 8; 因此，图3是8至基体2的对数，或3 =日志₂ 8以相同的方式，自10 ² = 100，则2 =日志_10个 100对数后者排序（即，具有基体10对数） 被称为常见的对数或Briggsian对数，并且简单地写为log n。

  对数发明于17世纪，目的是加快计算速度，它极大地减少了将数字与许多数字相乘所需的时间。它们是300多年来数字工作的基础，直到19世纪后期机械计算机的完善和20世纪计算机的完善使它们已不适合大规模计算。的自然对数（用碱Ë ≅2.71828和书面LN Ñ），然而，仍然是在最有用的功能之一数学，与应用程序的数学模型在整个物理和生物科学。

对数的性质

  由于各种有用的特性简化了冗长乏味的计算，对数很快被科学家采用。特别是，科学家可以通过在一个特殊的表中查找每个数字的对数，将对数加在一起，然后再次查询该表以查找具有计算出的对数的数字来找到两个数字m和n的乘积。反对数）。以常用对数表示，该关系由log m n = log m + log n给出。例如，可以通过查找100（2）和1,000（3）的对数，将对数加在一起（5），然后在表中找到其对数（100,000）来计算100×1,000。同样，除法问题转换为对数的减法问题：log m / n = log m − log n。这还不是全部；使用对数可以简化幂和根的计算。对数还可以在任何正基数之间进行转换（除了1不能用作基数，因为它的所有幂都等于1），如对数律表所示。

  对数表中通常只包含0到10之间数字的对数。为了获得此范围之外的某个数字的对数，该数字首先以科学计数法表示为有效数字和指数幂的乘积，例如，358将被写为3.58×10 ²，而将被写为0.0046为4.6×10 ^-3。然后是有效数字的对数-0到1之间的一个十进制小数，称为尾数-将在表格中找到。例如，要找到358的对数，将查找对数3.58 x 0.55388。因此，日志358 =日志3.58 +日志100 = 0.55388 + 2 = 2.55388。在具有负指数（例如0.0046）的数字的示例中，将查找对数4.6≅0.66276。因此，log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276-3 = -2.33724。

对数的历史

  通过对算术序列和几何序列的比较，预示了对数的发明。每个项在几何顺序上与其后继项形成恒定的比率。例如， …1 / 1,000、1 / 100、1 / 10、1、10、100、1,000… 的公共比率为10。在算术序列中，每个连续项相差一个常数，这就诗共差；例如， …−3，−2，−1、0、1、2、3… 的公共差为1。请注意，几何序列可以按照其公共比率来写；对于上面给出的例子的几何序列： 10 ... ^-3，10 ^-2，10 ^-1，10 ⁰，10 ¹，10²，10 ³ ...。 在几何序列中将两个数字相乘，例如1/10和100，等于将公共比率的相应指数-1和2相加，以获得10 ¹ =10。因此，乘法被转换为加法。但是，两个系列之间的原始比较并不是基于对指数符号的任何明确使用。这是后来的发展。1620年，瑞士数学家 JoostBürgi在布拉格发布了基于几何和算术序列相关概念的第一张表。

  苏格兰数学家 约翰·纳皮尔（John Napier）于1614年发表了他的对数发现。他的目的是帮助倍增被称为正弦的量。整个正弦是一个斜边很大的直角三角形的边的值。（纳皮尔最初的斜边为10 ^7。）他的定义是根据相对比率给出的。

  因此，任何正弦的对数是一个非常细微地表达在正弦时间中均等增加的线的数，而整个正弦的线成比例地减小到该正弦中，这两个运动均是等时的，并且开始均等地移位。

  与英国数学家合作 纳皮尔的亨利·布里格斯（Henry Briggs）将对数调整为现代形式。对于Naperian对数，比较点是在沿刻度直线移动的点之间，L点（对数）从负无穷大到正无穷大，X点（正弦）从零到无穷大以一定速度移动与它与零的距离成正比。此外，当X为1且此时的速度相等时，L为零。纳皮尔的发现的实质是，这构成了算术级数与几何级数之间关系的概括。也就是说，乘以X的幂点分别对应于L点的值的加法和乘法。在实践中是方便的限制的大号和X按要求运动即大号 = 1在X除了所述条件= 10 X = 1在大号 = 0。这变化产生的Briggsian，或常见的，对数。

  纳皮尔（Napier）于1617年去世，布里格斯（Briggs）独自继续，在1624年发布了对数表，该对数表计算出从1到20,000和从90,000到100,000的数字。1628年，荷兰出版商Adriaan Vlacq推出了10位值从1到100,000的表，添加了缺失的70,000个值。Briggs和Vlacq都参与建立对数三角表。这样的早期桌子要么达到百分之一度，要么达到一分钟的弧度。在18世纪，表格的发布间隔为10秒，这对于使用7位小数的​​表格很方便。通常，需要较小的间隔来计算较小数量的对数函数，例如，在函数log log x和log tan x的计算中。

  对数的可用性极大地影响了平面和球形的形式 三角学。重铸了三角函数的程序以产生公式，其中依赖于对数的运算一次完成。然后，向表求助仅包括两个步骤，即获得对数，并在使用对数执行计算后获得反对数。