四边形证明

四边形证明 已知：△ABC有两直交中线，如图，而两条中线AD、BE交于G 求证：CG＝AB 证明： （1）在射线GE上取F点，使得EF＝GE，又因为CE＝AE（∵BE为AC上的中线），∴四边形CGAF为平行四边形，所以AF＝CG （2）∵G为△ABC的重心，∴BG：GE＝2：1，而GE＝EF，∴BG＝GF，已知两中线AD、BE直交，所以∠BGA＝∠AGE＝90°，根据垂直平分线定理，∴AF＝AB （3）由（1）及（2）得证：CG＝AB而且这个性质具有可逆性，我们证明如下：已知：△ABC有两中线AD、BE交于G，如图，而且CG＝AB 求证：∠BGA＝90° 证明： （1）在射线GE上取F点，使得EF＝GE，又因为CE＝AE（∵BE为AC上的中线），∴四边形CGAF为平行四边形，∴CG＝AF （2）∵G为△ABC的重心，∴BG：GE＝2：1，而GE＝EF，∴BG＝GF，已知CG＝AB，由（1）可知CG＝AF，于是AF＝AB （3）在△AFG及△ABG中，由（2）知道BG＝GF，AF＝AB，又AG＝AG（共享），∴△AFG△ABG（SSS） （4）∵△AFG△ABG，∴∠BGA＝∠FGA，又∵∠BGA＋∠FGA＝180°（平角：B、G、F三点共线），∴∠BGA＝∠FGA＝180°÷2＝90°得证。 结论：若△ABC有两直交中线，则顶点到重心的距离为「底边」的长度。反之亦然，也就是说：若顶点到重心的距离为「底边」的长度时，则△ABC会有两互相垂直的中线。