三角方程与半倍角和多倍角

 

三角方程与半倍角和多倍角

半角方程

示例︰ 解决 sin = 3 在间隔内 [0°, 360°.)

解决方案︰写间隔 [0°, 360°)作为一个不等式

0° ≤X ＜ 360°     

0° ≤? ＜ 180°     

并建立了方程

和写解决方案集

S. S.= {120°, 240°}

倍角方程

示例︰ 解决cos 2x =    在间隔[0, 2.π)

解决方案︰ 写间隔

[0, 2.π)

作为不平等

0° ≤ x ＜ 2.π

然后乘2  获得间隔为 2x:

0° ≤ 2x ＜ 4.π

使用弧度我们发现在这个间隔的所有数的余弦值, 这些都是和

所以

写解决方案集

用双角恒等式求解一个方程

示例︰ 解决 cos2x + cos x = 0 在间隔内[0, 2.π).

解决方案︰ 要解决这个问题我们必须改 cos2x  使双角恒等式 （见公式列表）

cos2x + cos x = 0

2cos²x - 1 + cos x = 0

2cos²x + cos x - 1 = 0

(2cosx - 1)(cos x+1) = 0

现在把问题分为两个部分

该解决方案集是

 示例︰ 解决 1 - sin θ = cos2θ 在间隔内 [0°, 360°).

解决方案︰ 替换 cos2θ 利用倍角钢的恒等式

1 - sin θ = cos2θ

1 - sin θ = 1 - 2 sin²θ

2 sin²θ - sinθ = 0

sinθ(2 sinθ- 1) = 0

把问题分为两部分

解集是

S. S.={0°, 30°, 150°, 180°}

求解方程，利用多倍角的恒等式

解决 4 sinθ cosθ = √3 在间隔内[0°, 360°.）

从给定间隔 0° ≤ 0 ＜ 360°, 这个间隔 2θ is 0° ≤ 2θ ＜ 720° .

2θ = 60°, 120°, 420°, 480°

θ = 30°, 60°, 210°, 240°

S. S. = {30°, 60°, 210°, 240°}

自 sin 2θ is .π = 180°, 我们可以用这种方式来表达所有的解决方案：

S. S.= {30° + 180°n, 60° + 180°n, 其中 n 是任意整数

求解方程与多个角

解决tan 3x + sec 3x = 2  ,在间隔内[0, 2π）

解决方案︰ 因为我们有切线和割线，这两个表达的一切.

切线

tan 3x + sec 3x = 2

sec 3x = 2 -  tan 3x

sec² 3x = (2- tan 3x)²

1 + tan² 3x = 4 - 4 tan 3x + tan²3x

-3 = -4 tan 3x

tan 3x =

3x = 0. 6435 or [象限 I]

3x = 0.6435 + π = 3.7851 [象限 III]

该解决方案 3x 必须是象限I 和 III 自0 ≤ x ＜2π, 我们有 0 ≤ 3x ＜ 6π, 和

3x = 0.6435 + (n)2π, 这里 n = 0, 1, 2 or

3x = 3. 7851 + (n)2π,这里 n = 0, 1, 2

x = 0. 2145, 2.3089, 4. 4033 or

x = 1. 2617, 3. 3561, 5. 4505

我们必须测试每一个解决方案，因为它们是由与双方的产生

方程和增根是可能余弦函数有周期2π的倍数的

正切函数 (π). 这是不够的，然后，到test x =0. 2145 和 x = 1. 2617. 你可以检查这些近似值用计算器获得

tan = (3*0. 2145) + 1/ cos(3 * .2145) = 1. 999 997 228

但是

tan = (3 * 0.1.2617)+ 1/ cos(3 *1. 2617) = -.4999961015

我们的结论是，四舍五入到四位小数

S. S. ={ .2145, 2. 3089, 4. 4033}

你可以看到这由图形 Y1 = tan(3x) + 1/ cos(3x) -2  在你的计算器的窗口[0, 2π] × [-1, 1]

与 Xscl = 1 并注意那里的图  (TI-84型号计算器)穿越 x 轴